home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Resource Library: Multimedia / Resource Library: Multimedia.iso / space / faq / moreqtns < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1993-06-11  |  3.9 KB  |  186 lines
  1.     [ From max@west.darkside.com (Erik Max Francis)]
  2.  
  3.                 RELATIVISTIC EFFECTS UNDER CONSTANT THRUST
  4.  
  5. A body of mass m0 is accelerating under constant thrust F.  Initial
  6. (rest) acceleration is a0 = F/m0.  t is the elapsed time as measured
  7. from the rest frame.
  8.  
  9. Effective acceleration (from the rest frame):
  10.  
  11.     a = a0 (1 - v^2/c^2)^(3/2).
  12.  
  13. Accumulated velocity (from the rest frame):
  14.  
  15.     v = [t^2/(a0^2 + c^2 t^2)].
  16.  
  17. Accumulated displacement (from the rest frame):
  18.  
  19.     r = (a0^2 + c^2 t^2)^(1/2) - c^2/a0.
  20.  
  21. Accumulated gamma term:
  22.  
  23.     gamma = (c^2 + a0^2 t^2)/c^2.
  24.  
  25. Elapsed ship time (as a function of rest time):
  26.  
  27.     tau = (c/a0) ln [(1 + a0^2 t^2/c^2)^(1/2) + a0 t/c].
  28.  
  29.  
  30.                               FUEL CONSUMPTION
  31.  
  32. A ship with mass m0 and initial mass of fuel f0 has a drive which is
  33. capable of constant fuel consumption K and an exhaust velocity
  34. (specific impulse) E.
  35.  
  36. Actual acceleration as a function of time:
  37.  
  38.     a = E K/(m0 + f0 - K t).
  39.  
  40. Time taken to exhaust fuel:
  41.  
  42.     T = f0/K.
  43.  
  44. Accumulated velocity as a function of time:
  45.  
  46.     v = E [ln (m0 + f0) - ln (m0 + f0 - K t)].
  47.  
  48. Final change in velocity after exhausting fuel:
  49.  
  50.     v|T = E [ln (m0 + f0) - ln m0].
  51.  
  52. Final displacement after exhausting fuel:
  53.  
  54.     r|T = (E/K) [m0 [ln m0 - ln (m0 + f0)] + f0].
  55.  
  56.  
  57.                      RELATIVISTIC FUEL CONSUMPTION
  58.  
  59. A ship with mass m0 and initial mass of fuel f0 has a drive which is
  60. capable of constant fuel consumption K and an exhaust velocity
  61. (specific impulse) E.
  62.  
  63. Final change in velocity after exhausting fuel, taking into account
  64. relativity:
  65.  
  66.     v|T = (c E D)/(c^2 + E^2 D^2)^(1/2),
  67.  
  68. where D = ln (m0 + f0) - ln m0.
  69.  
  70.  
  71.                             MOMENTS OF INERTIA
  72.  
  73. Do you want these?
  74.  
  75.  
  76.                           RINGWORLD PARAMETERS
  77.               (figures from _The Ringworld Role-Playing Game_)
  78.  
  79. Mass of Ringworld:
  80.  
  81.     m = 2.1 x 10^27 kg.
  82.  
  83. Radius of Ringworld:
  84.  
  85.     r = 1.5288 x 10^11 m.
  86.  
  87. Width of Ringworld:
  88.  
  89.     w = 1.604 x 10^9 m.
  90.  
  91. Thickness of Ringworld:
  92.  
  93.     t = 30 m.
  94.  
  95. Spin-induced "gravity" at surface of Ringworld:
  96.  
  97.     a = 9.73 m/s^2.
  98.  
  99. Apparently angular size of portion of Ringworld floor as seen from
  100. surface of Ringworld a central angle theta away:
  101.  
  102.     phi = arctan [(s/r)/(4 sin theta)].
  103.  
  104. Tension stress induced in Ringworld by rotation:
  105.  
  106.     sigma = m a/(2 pi w t).
  107.  
  108.  
  109.                             ANALYSES OF ORBITS
  110.  
  111. A body falls from a distance r0 to a distance r from a central body
  112. with mass M.
  113.  
  114. Accumulated deltavee:
  115.  
  116.     deltav = [2 G M/(1/r - 1/r0)].
  117.  
  118.  
  119. A planet with mass m is in orbit around a Sun with mass M.  The
  120. planet's orbit has eccentricity e and angular momentum l.
  121.  
  122. Energy associated with orbit:
  123.  
  124.     E = [G^2 m^3 M^2/(2 l^2)] (e^2 - 1).
  125.  
  126. For an ellipse with semimajor axis a:
  127.  
  128.     E = -G m M/(2 a).
  129.  
  130.  
  131.                      VELOCITIES OF BODIES IN ORBIT
  132.  
  133. A planet is in orbit around a Sun with mass M.    The following
  134. represents the velocity v at a point when the planet is at a distance
  135. r from the primary.
  136.  
  137. For a circle:
  138.  
  139.     v = (G M/r)^2.
  140.  
  141. For an ellipse (with semimajor axis a):
  142.  
  143.     v = [2 G M [1/r - 1/(2 a)]].
  144.  
  145. For a parabola:
  146.  
  147.     v = (2 G M/r)^2.
  148.  
  149. For an hyperbola with eccentricity e and minimum planet-Sun distance
  150. alpha:
  151.  
  152.     v = [2 G M [1/r + (e - 1)/(2 alpha)]].
  153.  
  154.  
  155.                              HAWKING RADIATION
  156.  
  157. For a black hole with mass m, total power output P is
  158.  
  159.     P = k/m^2
  160.  
  161. where k is a constant, on the order of 10^34 kg m^2.
  162.  
  163. Blackbody thermodynamic temperature of black hole with mass m (sigma
  164. is Stefan-Boltzmann constant):
  165.  
  166.     T = [(c^4 k)/(16 pi sigma G^2)]^(1/4) (1/m).
  167.  
  168. For a black hole with initial mass m0, the amount of time required for
  169. black hole to completely dissolve is
  170.  
  171.     tau = c^2 m0^3/(3 k).
  172.  
  173.  
  174.                           GRAVITATIONAL DISRUPTION
  175.  
  176. Total energy required to completely gravitational disrupt a uniform,
  177. spherical body of mass M and radius R:
  178.  
  179.     E = (9/15) G M^2/R.
  180.  
  181.  
  182. That's most of the stuff I have right now.  Please let me know if you
  183. have any questions or problems with the above formulae.  If you have
  184. any other specific problems you'd like to have solutions to (I love to
  185. solve problems), let me know and I'll see if I can work them out.
  186.